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1.6 有源低通滤波器

在之前的教程中，我们已经学习了有源高通滤波器，它是通过将无源 RC 滤波器与运算放大器电路结合设计而成的。在本教程中，我们将学习有源低通滤波器，并理解从低通滤波器转换为高通滤波器仅仅是交换了电阻 RR 和电容 CC 的位置。

如果您需要了解无源滤波器的相关信息，请查看以下教程：无源低通 RC 滤波器和无源高通 RC 滤波器。

什么是低通滤波器？​

低通滤波器是一种允许从直流（DC）到上截止频率 fHf_H 的所有频率通过，并拒绝高于此频率的任何信号的滤波器。

在理想情况下，频率响应曲线在截止频率处下降。实际上，信号并不会突然下降，而是从过渡区域逐渐下降到阻带区域。

截止频率是指响应从通带下降 -3 dB 或 70.7% 的点。过渡区域是指衰减发生的地方。

阻带区域是指输入信号主要被衰减的区域。因此，这种滤波器也被称为高切滤波器或高音削减滤波器。理想响应如下图所示。

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有源低通滤波器不仅仅是使用无源元件，而是通过将运算放大器、场效应晶体管（FET）和晶体管等有源元件与无源元件结合而成。与无源滤波器相比，这些滤波器非常有效。有源滤波器的引入是为了克服无源滤波器的缺陷。

一个简单的有源低通滤波器可以通过使用运算放大器来实现。运算放大器将高阻抗信号作为输入，并输出低阻抗信号。该滤波器电路中的放大元件会增加输出信号的幅度。

通过放大器的作用，输出信号的幅度会变宽或变窄。滤波器的最大频率响应取决于电路设计中使用的放大器。

有源低通滤波器电路​

在无源电路中，信号的衰减即输出信号的幅度小于输入信号的幅度。为了克服无源滤波器的这一缺点，设计了有源滤波器。将无源低通滤波器连接到反相或同相运算放大器上，就可以得到一个简单的有源低通滤波器。通过单个运算放大器与 RC 电路组合可以形成一阶有源滤波器。

有源低通滤波器原理图​

下图展示了一个连接到运算放大器同相端的简单 RC 无源滤波器。

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这个 RC 电路为放大器的输入提供了一条低频路径。放大器作为缓冲电路，提供单位增益输出。该电路具有较高的输入阻抗值。尽管运算放大器的输入阻抗在截止频率以下很高，但这种输入阻抗受到等于 R+1jωCR + \frac{1}{j\omega C} 的串联阻抗的限制。

连接在电路中的运算放大器的输出阻抗始终很低。该电路为滤波器提供了高稳定性。这种配置的主要缺点是电压增益为 1。即使对于这个电路，由于输入阻抗较低，输出功率也很高。

高电压增益的有源低通滤波器​

上述有源低通滤波器电路不能提供大于 1 的增益。因此，我们使用以下电路来提供高电压增益。

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当输入信号的频率较低时，信号将直接通过放大电路；但如果输入频率较高，信号将通过电容 C1C_1 传递。通过这个滤波器电路，输出信号的幅度由滤波器的通带增益增加。

我们知道，对于同相放大器电路，电压增益的幅度由其反馈电阻 R2R_2 除以其相应的输入电阻 R3R_3 得到，如下所示：

电压增益=1+R2R3\text{电压增益} = 1 + \frac{R_2}{R_3}

有源低通滤波器的电压增益​

我们知道，增益可以通过频率分量获得，如下所示：

电压增益=VoutVin=Amax1+(ffc)2\text{电压增益} = \frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} = \frac{A_{\text{max}}}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_c}\right)^2}}

其中：

  • AmaxA_{\text{max}} = 通带增益 = 1+R2R31 + \frac{R_2}{R_3}
  • ff = 工作频率
  • fcf_c = 截止频率
  • VoutV_{\text{out}} = 输出电压
  • VinV_{\text{in}} = 输入电压

当频率增加时，增益每增加 10 倍频率就会下降 20 dB。这种操作如下所示：

  • 在低频时，即工作频率 ff 低于截止频率时：
VoutVin=Amax\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} = A_{\text{max}}
  • 当工作频率等于截止频率时：
VoutVin=Amax2=0.707Amax\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} = \frac{A_{\text{max}}}{\sqrt{2}} = 0.707 A_{\text{max}}
  • 当工作频率高于截止频率时：
VoutVin<Amax\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} < A_{\text{max}}

通过这些方程，我们可以得出，在低频时，电路增益等于最大增益；而在高频时，电路增益小于最大增益 AmaxA_{\text{max}}。当实际频率等于截止频率时，增益等于 AmaxA_{\text{max}} 的 70.7%。由此可以得出，频率每增加 10 倍（一个十年），电压增益就会减少 10 倍。

电压增益的幅度（dB）：

Amax=20log⁡10(VoutVin)A_{\text{max}} = 20 \log_{10} \left(\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}\right)

在 -3 dB 频率处，增益为：

3 dBAmax=20log⁡10(0.707VoutVin)3 \text{ dB} A_{\text{max}} = 20 \log_{10} \left(0.707 \frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}\right)

有源低通滤波器示例​

假设一个同相有源低通滤波器的截止频率为 160 Hz，输入阻抗为 15 kΩ。假设在低频时，该电路的电压增益为 10。

增益（dB）为：

20log⁡(Amax)=20log⁡(10)=20 dB20 \log (A_{\text{max}}) = 20 \log (10) = 20 \text{ dB}

我们知道电压增益为：

Amax=10=1+R2R1A_{\text{max}} = 10 = 1 + \frac{R_2}{R_1}

假设电阻 R1R_1 为 1.2 kΩ。

R2=9R1=9×1.2k=10.8kR_2 = 9 R_1 = 9 \times 1.2 \text{k} = 10.8 \text{k}

因此，得到的 R2R_2 为 10.8 kΩ。由于这个值不存在，我们可以选择最接近的标准值 11 kΩ。

通过考虑截止频率公式，我们可以得到电容值：

fc=12πRCf_c = \frac{1}{2\pi RC}

将 CC 作为主变量，上述方程可以写为：

C=12πfcRC = \frac{1}{2\pi f_c R}

将输入阻抗值 15 kΩ 和截止频率 fcf_c 为 160 Hz 代入：

C=12π×160×15×103≈0.068μFC = \frac{1}{2\pi \times 160 \times 15 \times 10^3} \approx 0.068 \mu \text{F}

从得到的值中，我们可以得到如下所示的有源低通滤波器：

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频率响应​

有源滤波器的响应如下图所示。

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二阶有源低通滤波器​

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仅需在一阶低通滤波器的基础上增加一个额外的 RC 电路，电路就会表现为二阶滤波器。二阶滤波器电路如下图所示。

该电路的增益为：

Amax=1+R2R1A_{\text{max}} = 1 + \frac{R_2}{R_1}

二阶低通滤波器的截止频率为：

fc=12πC1C2R3R4f_c = \frac{1}{2\pi \sqrt{C_1 C_2 R_3 R_4}}

二阶滤波器与一阶滤波器的频率响应和设计步骤几乎相同，唯一的区别在于阻带的滚降特性。二阶滤波器的滚降值是一阶滤波器的两倍，即 -40 dB/十年或 -12 dB/八度。这些滤波器能够更陡峭地阻断高频信号。

有源低通滤波器的应用​

  • 在电子学中，这些滤波器被广泛应用于许多领域。这些滤波器被用作音频扬声器中的嘶嘶声滤波器，以减少系统中产生的高频嘶嘶声，并被用作低音炮的输入信号。

  • 这些滤波器还被用于均衡器和音频放大器。在模数转换过程中，它们被用作抗混叠滤波器以控制信号。在数字滤波器中，它们被用于图像的模糊处理和平滑数据信号。在无线电发射机中，它们被用于阻断谐波发射。

  • 在声学领域，这些滤波器被用于从传输声音中滤除高频信号，这些高频信号会在较高声音频率下引起回声。